Hypergeometric size：相手にdraw outsがある場合のbet sizeについて

文責：しぐま (Twitter: link)

1. 導入：More than geometric? Less than geometric?

一般的に、staticなboardで自レンジにnuttishハンドが存在する場合にはgeometric sizeを用いたpolarize戦略が用いられることがあります。では、boardがdynamicになった場合にはgeometric sizeより大きいsizeを用いるでしょうか？それとも小さいsizeを用いるでしょうか？

ある人は小さいsizeと答えるかもしれません。理由は例えば、先のstreetで相手のdrawハンドに捲られてしまう可能性があるためall inを見据えたsizeを打ってpotを焚くのは危険だからなどでしょうか。
またある人は大きいsizeと答えるかもしれません。理由は例えば、相手のdrawハンドがcallできないようなoddsになるように大きいbetを打てばそれらのハンドに対してequity denialさせることができるからなどでしょうか。

このように少なくともbet sizeを大きくも小さくもする誘因があると言えます。しかし、実際にプレイする場合にgeometric sizeより大きいsize(= hypergeometric size)を意図的に用いるプレイヤーはごくわずかです。
以下では相手にdraw outsがある場合のbet size選択(特にhypergeometric size)についてmodel計算を通して理解を深めてゆきます。

第2章のmodel計算をフォローするにはAKQ model(やその亜種)に対するGTO  solutionの計算や数学的な手続きにある程度慣れている必要があるため、一部の読者には難易度が高い可能性があります。
その場合には、第3章のhypergeometric sizeが用いられる実際のスポットとmodel計算の結果との比較に進んでください。

2. Model計算

2.1. 1つ目のmodel："Pseudodynamic" 2-street AKQ model

はじめに、次のようなdraw outs有りbet size可変2-street AKQ modelを考える。

OOP：AまたはQ(等しい確率で配られる)
IP：K
・SPR：$S$
・2 streetに亘ってbetが可能(それぞれのstreetをturnとriverと呼ぶ)。
・RiverではKまたは2がcommunity cardとして開かれる(それぞれの出現確率を$p, 1-p$とし、$p$は十分小さいとする)。
・Raiseは禁止とする(禁止する必要はないが議論の簡単のためにそのようにする)。
・Bet size：Turnでは$r\in[0,S]$、riverでは$r'\in[0,S']$とする(ただし、$S'$はriver突入時のSPRとする)。

このmodelに対するGTO戦略として以下を仮定する。

Turn
・OOP：Aをpureにbetし、Qを$x$の頻度でbetする。ここで$x\in[0,1]$はIPのKをcall or foldのindifferentにする値に設定する。
・IP：Kはcall or foldのindifferentになる。

River(turnでbet→call後)
・OOP：RiverでKが落ちた場合にはrange check、2が落ちた場合にはAをpure bet、Qを$\frac{r'}{1+r'}=:\alpha'$の頻度でbetする(ことでIPのKをindifferentにする)。
・IP：2が落ちた場合にはKはbetに対してcall or foldのindifferentになる。

IPのKのcall頻度(fold頻度)はOOPのQがbet or checkのindifferentになる条件から決まるが、この後の議論には影響しないため割愛する。

Turnのbetに対してIPのKがcall or foldのindifferentになることを利用するとKがpureにfoldすると思ってOOPのEVを計算することができて、

$$ \begin{align*} \mathrm{EV}_{\mathrm{OOP}}=(\text{Turn OOPのbet頻度})\times (\text{Pot size})=\frac{1+x}{2}\times 1 \end{align*} $$

となる。
従って、Qのbet頻度$x$を求めればEVを計算することができる。
IPのKがturnのbetに対してcall or foldのindifferentになるという条件から、

$$ \begin{align*} &(\text{KのFold EV}) = (\text{KのCall EV}) \\ \Leftrightarrow {}& 0 = -r + p(1+2r)+(1-p)\frac{\frac{1}{2}(x-\alpha')}{\frac{1}{2}(1+x)}(1+2r)\quad\quad(1) \end{align*} $$

が成り立つ。
右辺第1項はturnのbetに対してcallするのに必要な額。第2項はriverでKが落ちる場合で、$(\text{Kが落ちる確率})\times(\text{Kが落ちた場合のIPのEV}[=\text{Pot size}])$となっている。第3項はriverで2が落ちる場合で、$(\text{2が落ちる確率})\times(\text{2が落ちた場合のIPのEV}[=(\text{OOPがcheckする確率})\times(\text{Pot size})])$で計算される。

ここで、OOPがriverでcheckする確率が正になることを暗に仮定している。つまり、

$$ \begin{align*} x\geq\alpha' \end{align*} $$

を課す。
式(1)を解けば、

$$ \begin{align*} x=(1-p)(\alpha'+(1+\alpha')\alpha)-p \quad\quad(2) \end{align*} $$

となる。ただし、$\alpha:=\frac{r}{1+r}$はbet size$r$に対するアルファである。

特に$p=0$の時(riverで2が必ず落ちる時)、$x=\alpha'+(1+\alpha')\alpha$となって通常のstaticな2-street AKQ modelの場合を再現する。この場合、OOPはriverで使うbluff(Q)のbet頻度$\alpha'$に加えて、turnではriverでbetするハンドを全てvalueだと思った時のアルファ($=(1+\alpha')\alpha$)をbetする。

式(2)を見ると、dynamicな場合のbluff頻度$x$はstaticな場合に対して補正を加えた形になっている。式(2)の第1項は、staticな場合のbluff頻度にriverで2が落ちる確率を掛けて補正している。第2項は、riverでKが落ちる場合を考慮してbluff頻度を減らす役割をしている。

$r$と$r'$を動かして$x$を最大化すればOOPのEVを最大化できるが、式(2)の第1項はstaticな場合($p=0$)のbluff頻度に対応していることから、よく知られたstaticな場合の2-street AKQ modelの結果から

$$ \begin{align*} r=r'=\frac{-1+\sqrt{1+2S}}{2} \end{align*} $$

が$x$の最大値を与えることがわかる。

従って、このmodelは相手にdraw outsがあるというdynamicな状況を考えているにも拘らず、staticな場合と同様geometric sizeが肯定される結果を与える。これはturnとriverのbet sizeに関する対称性が破れないためである。
また、このmodelはdrawが完成した時(Kの場合)にIPが一方的に勝ってしまい(意味のある)betがお互いに発生せず、riverカードがragの時(2の場合)には両者のレンジのEQが保存されるというような"pseudodynamic"なmodelになっている。そこで以下では真にdynamicな状況を作るための工夫を加えた別のmodelを考える。

2.2. 2つ目のmodel：Dynamic 2-street AKQ model

新たなmodelとして、次のようなdraw outs有りbet size可変2-street modelを扱う。

OOP：Aまたは2(等しい確率で配られる)
IP：$X_1, X_2, \cdots, X_N$(等しい確率で配られる)
・$\{X_i\}$はAより弱く2より強い相異なるハンド群とする。$N=4$なら例えば$X_1=K, X_2=Q, X_3=J, X_4=T$などと考えれば良い。
・SPR：$S$
・2 streetに亘ってbetが可能(それぞれのstreetをturnとriverと呼ぶ)
・Riverでは${\{X_i|i=1, \cdots,N}\}$が一様に出現する。
・Raiseを許す。
・Bet size：Turnでは$r\in[0,S]$、riverでは$r'\in[0,S']$とする(ただし、$S'$はriver突入時のSPRとする)。

このmodelでは、IPのレンジの$\frac{1}{N}$の割合がriverでdrawを完成させてnutsに昇格し、残りの$\frac{N-1}{N}$はOOPのAと2の間の強さを保つという状況を作り出している。$N$は十分大きいとし、このmodelに対するGTO戦略として以下を仮定する。

Turn
・OOP：Aをpureにbetし、2を$x$の頻度でbetする。ここで$x\in[0,1]$はIPの$\{X_i\}$をcall or foldのindifferentにする値に設定する。
・IP：$\{X_i\}$は全てcall or foldのindifferentになる。

River(turnでbet→call後、riverカード$X_j$)
・OOP：Aをpure bet、2を$\frac{r'}{1+r'}=:\alpha'$の頻度でbetする(ことでIPの$\{X_i|i\neq j\}$をindifferentにする)。
・IP：Betに対して$X_j$をpure raise all in、$\{X_i|i\neq j\}$を適切な頻度でraiseし、残りを(適切な頻度で)callまたはfoldする。

TurnでIPの$\{X_i\}$がcall or foldのindifferentになる条件から、

$$ \begin{align*} 0=-r+(1+2r-\mathrm{EV}_{\mathrm{OOP}}^{(\mathrm{river})})\quad\quad (3) \end{align*} $$

を得る。ただし、$\mathrm{EV}_{\mathrm{OOP}}^{(\mathrm{river})}$はriver突入時のOOPのEVである。RiverにおけるIPのdrawの完成確率を$p:=\frac{1}{N}$と置いてこれを計算すると、

$$ \begin{align*} \mathrm{EV}_{\mathrm{OOP}}^{(\mathrm{river})}&=(\text{Bet頻度})\times(\text{Bet EV}) \\ &=\frac{1+\alpha'}{1+x}((1-p\beta'')(1+2r)+p\beta''(1+2r)(-r')) \\ &=\frac{\beta'}{1+x}(1+2r)(1-p\beta''(1+r')) \quad\quad (4) \end{align*} $$

となる。ただし、riverのraiseをraise $r''\,[100\,\%]$とし、$\beta'':=\frac{1+2r''}{1+r''}$, $\beta':=\frac{1+2r'}{1+r'}= 1+\alpha'$と定義している。Riverのraiseはall inであることから、

$$ \begin{align*} (1+2r)r'+(1+2r)(1+2r')r''=S-r\end{align*}\quad\quad (5) $$

が成り立つ。
式(3)と式(4)から、

$$ \begin{align*} x&=-1+\beta\beta'(1-p(1+r')\beta'') \\ &=\alpha'+(1+\alpha')\alpha-p\beta\beta'\beta''(1+r') \quad\quad (6) \end{align*} $$

が導かれる。ここで、$\alpha:=\frac{r}{1+r}$はbet size$r$に対するアルファ、$\beta:=\frac{1+2r}{1+r}=1+\alpha$である。
式(6)の第1項は通常のstaticな場合の2-street AKQ modelにおけるbluff頻度に等しく、第2項がdraw outsが存在することによる補正項である。

式(5)を整理して式(6)に代入すると、

$$ \begin{align*} x=-1+\beta\beta'\left(1-p(1+r')\frac{2(\frac{S-r}{1+2r}-r')+1}{\frac{S-r}{1+2r}-r'+1}\right)\quad\quad (7) \end{align*} $$

となる。
OOPのEVは、$\mathrm{EV}_{\mathrm{OOP}}=\frac{1+x}{2}$と書けるから、$x$を最大化するように$r,r'$を取れば$\mathrm{EV}_{\mathrm{OOP}}$は最大化される。
式(7)は補正項のために$r$と$r'$に関する対称性が破れている。そのため、geometric sizeとは異なるsizeが肯定されることが期待される。$x$の最大値を与える$r,r'$は式(7)を順次偏微分することで求めることができるが、一般の$S$と$p$について解析的にこれを実行することは困難である。そこで、$p\sim0$の時にbet sizeがgeometric sizeよりも大きくなるのか小さくなるのかを摂動的に調べる。

まず、$p\ll 1$を仮定して、

$$ \begin{align*} r&\simeq r_g+p\Delta r_1+p^2\Delta r_2 \\ r'&\simeq r_g+p\Delta r_1'+p^2\Delta r_2' \\ \end{align*} $$

と$r$と$r'$を$p$に関して2次まで展開する。ただし、$r_g=\frac{-1+\sqrt{1+2S}}{2}$はgeometric sizeである。
$p$が十分小さいとすると、riverのOOPのbetはall inが選択される(という予備計算)から$r''=0$として式(5)に$r$と$r'$の展開した表式を代入して$p$の係数を比べることで、

$$ \begin{align*} \Delta r_1+\Delta r_1'&=0 \\ \Delta r_2 + \Delta r_2' + \frac{\Delta r_1^2}{r_g} &= 0 \\ \end{align*} $$

を得る。
さらに、$\beta$の$p$に関するTaylor展開から

$$ \begin{align*} \beta \simeq \beta_g + \frac{\Delta r_1}{(1+r_g)^2}p - \frac{\Delta r_1^2}{(1+r_g)^3}p^2 + \frac{\Delta r_2}{(1+r_g)^2}p^2 \end{align*} $$

が導かれる。ここで、$\beta_g:=\frac{1+2r_g}{1+r_g}$である。
従って、

$$ \begin{align*} \beta\beta' &\simeq \beta_g^2 +\beta_g\frac{\Delta r_1+\Delta r_1'}{(1+r_g)^2}p + \frac{\Delta r_1\Delta r_1'}{(1+r_g)^4}p^2 - \beta_g \frac{\Delta r_1^2+\Delta r_1'^2}{(1+r_g)^3}p^2 + \beta_g \frac{\Delta r_2+\Delta r_2'}{(1+r_g)^2}p^2 \\ &= \beta_g^2-\frac{3S^2+1}{(1+r_g)^4r_g}p^2\Delta r_1^2 \end{align*} $$

より、

$$ \begin{align*} x &\simeq -1 + \left(\beta_g^2 - \frac{3S^2+1}{(1+r_g)^4r_g}p^2\Delta r_1^2 \right)(1-p(1+r_g-p\Delta r_1)) \\ &\simeq -1+\beta_g^2 - (1+r_g)\beta_g^2 p + \left(\beta_g^2\Delta r_1-\frac{3S^2+1}{(1+r_g)^4r_g}\Delta r_1^2\right)p^2 \end{align*} $$

となる。
$x$の最大値を与える$\Delta r_1$は、$p^2$の項の係数を平方完成することで、

$$ \begin{align*} \Delta r_1 = \frac{1}{2}\beta_g^2 \frac{(1+r_g)^4r_g}{3S^2+1} >0 \end{align*} $$

と得られる。
この値は常に正であるから、(少なくとも$p$が十分小さい限りは)turnにおけるbet sizeはgeometric sizeよりも大きいsizeとなる。

数値計算(Mathematica)により式(7)の最大値を与える$r, r'$を求めると、例えば、$S=2, p=10^{-4}$の場合に

$$ \begin{align*} r &= 0.6183 \\ r' &= 0.6177 \end{align*} $$

となり、確かに$r > r_g=0.6180 > r'$が成立している。

よりdraw outsが多い場合、例えば$S=2, p=1/4$では、

$$ \begin{align*} r &= 1.422 \\ r' &= 0.1503 \end{align*} $$

となり、やはり$r > r_g > r'$が成立する。

このmodelはturnのbet sizeとしてgeometric sizeよりも大きなhypergeometric sizeを肯定するmodelになっている。

3. Hypergeometric sizeが用いられるスポットとmodelとの比較

上記の2つ目のmodelでは、riverでdraw outsがある場合に(draw完成の確率が十分低いという条件の下で)outsが多くなればなるほど大きなhypergeometric sizeが有用であるということが示唆された。

以上の観察を踏まえて、最後にhypergeometric sizeが使用される具体的な状況を眺めてこのmodelと比較する。

以下にGTO WizardによるCO vs. SB 3bet potのsolution(Cash 100bb, 6max, NL50, open: 2.5bb, 3bet: GTO)を示す。

Flop KsTh5sのtwotone boardでSBが33%のCBを打ってCOがcallし、turnでAhが落ちてdouble-FD boardになった状況を考える[図1]。

Turn時点で両者のSPRは1.92となっており、turn-riverの2eのgeometric sizeは60.0%である。このスポットではb 75%とb 125%の頻度がそれぞれ11.5%と14.5%とメインsizeに据えられており、hypergeometric sizeが用いられている場面となっている。

図2のturn開始時のEQ bucketを見ると、EQ70%以上のハンド群(two pair, set, straight)はSBが一方的に多く所持していて、COはそれ以下のEQの比較的marginalなハンドがレンジの大半を占めている(hitまたはhit+drawがほとんど)。

SBはb 125%にvalueとして主にtwo pair+(色なしのみ選択するなどの注意点がある)を用いて、hit+GSSDのTXなどを(semi) bluffとして用いる。このb 125%に対してCOは、FDの付かないhit+GSSDがfoldになるだけでなく、hit+FD+GSSDのようなハンドもcall or foldのindifferentになる(大きいbetに対してimplied oddsが非常に低い)[図3]。

この時COのcallレンジは図4のEQ bucketからわかる通り、ほとんどがcombo drawから構成されている。Flushのみに注目して大雑把にoutsの数を考えると、レンジの半分がハートのFD、もう半分がスペードのFDであるため、それぞれにflush完成の9枚ずつのoutsがあるとして、$\frac{1}{2}\times18\,\%+\frac{1}{2}\times18\,\%=18\,\%$の確率でCOはriverでdrawを完成させることができる。実際にはstraightの完成によるoutsもあるためそれも考慮すると、(かなり粗い見積もりで)25%程度の確率でdrawを完成させられる。

すると、このスポットは前に見た$S=2, p=1/4$の状況に似通っていると言える。結果を再掲すると、

$$ \begin{align*} r &= 1.422 \\ r' &= 0.1503 \end{align*} $$

で、この時のbluff頻度$x$は、

$$ \begin{align*} x=0.2784 \end{align*} $$

となる。

まず、modelから導かれる適切なbet sizeはturn 142.2% - river 15.03%で、GTO solutionのturn 125% - river 19%のメインプレイラインを支持する。さらに、modelのturnのbluff頻度27.84%はGTO solutionのturnのbluff頻度($\sim 26.4\,\%$)と非常に近くなっている(50%以下のEQのハンドをbluffとして計上した)。一般的に、bet sizeが大きくなればなるほどbluffを多く注ぎ込む必要があるが、このようにdraw-heavyな状況においてはbluff頻度は通常よりも小さくなりうる(b 125%に対するアルファ(bluff頻度)は55.5%)。

以上の観察をまとめると、IPにdrawが存在するような場合には、OOPからhypergeometric sizeを用いてIPのdrawハンドからEQを奪ってpositionの不利を軽減することが有益になりうるということである。

もちろん、modelとこのスポットのGTO solutionは異なる点も多く存在しており(例えば、turnのCOのraise all inなど)、より精巧にmodel化するのであればOOP(SB)のmarginalなハンドの存在やIPのhigh-EQハンドの存在などを考慮する必要があると考えられる。しかし、今回のmodelは(少し数値計算を借りて)手で解けるレベルの簡単なものであるにも拘らず、hypergeometric sizeを用いる状況を上手く再現しており非常に有用であると言える。