2eのgeometric sizeの近似計算について

文責：しぐま (Twitter: link)

先日の鉄強会(link)で2eのgeometric sizeの計算方法に関して、次のようなことを初めて耳にしました。

SPRに1を足して5で割ると2eのgeometric sizeが(近似的に)計算できる。

つまり、bet size $r$はSPRを$S$として、

$$ \begin{align*} r\simeq \frac{1}{5}(S+1) \end{align*} $$

が成り立つということです。

例えば、$S=3$の場合には$r=\frac{4}{5}$なので、80% betをturnとriverで行えばよいというわけです(厳密な2e sizeは82.2%)。
以下ではこちらのstatementについての妥当性を簡単に確認していきます。

Turnとriverでpot sizeに対して$r$倍のbetを行う時、turn時点でのpotを$1$とすれば、riverのpot sizeは$1+2r$で、riverのbet額は$r(1+2r)$となる。

2 streetでのbet額の合計が$S$に等しければよく、

$$ \begin{align*} r+r(1+2r)=S \end{align*} $$

が成り立つ。
この$r$についての2次方程式を解けば、

$$ \begin{align*} r=\frac{-1+\sqrt{1+2S}}{2}=:r_{\mathrm{2e}} \end{align*} $$

を得る。
ここで、SPRが4付近として$S=4(1+\delta)$とおけば(ただし$\delta \ll 1$)上式は、

$$ \begin{align*} r_{\mathrm{2e}}&=\frac{-1+\sqrt{9+8\delta}}{2}=\frac{-1+3\sqrt{1+\frac{8}{9}\delta}}{2}\simeq \frac{-1+3(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{9}\delta)}{2} \\ &=1+\frac{2}{3}\delta \end{align*} $$

と近似できる。
すると、

$$ \begin{align*} \frac{1}{5}(S+1)=1+\frac{4}{5}\delta\simeq r_{\mathrm{2e}}+\frac{2}{15}\delta \end{align*} $$

となり、

$$ \begin{align*} \frac{\frac{2}{15}\delta}{r_{\mathrm{2e}}} \simeq \frac{2}{15}\delta \ll 1 \end{align*} $$

より$\delta \ll 1$である限りはbet sizeの近似式$r=\frac{1}{5}(S+1)$が有効($\frac{2}{15}$のfactor分さらに1桁程度精度が高い)。

具体的なSPRについて計算すると、

$$ \begin{array}{cccc} \text{(SPR)} & \text{(近似による2eの値)} & \text{(正確な2eの値)} & \text{(相対誤差)} \\  S & \frac{1}{5}(S+1) & r_{\mathrm{2e}} & \frac{\frac{1}{5}(S+1)-r_{\mathrm{2e}}}{r_{\mathrm{2e}}} \\ \hline 0.5 & 0.3 & 0.207 & 0.448 \\ 1 & 0.4 & 0.366 & 0.0928 \\ 1.5 & 0.5 & 0.5 & 0 \\ 2 & 0.6 & 0.618 & -0.0291 \\ 2.5 & 0.7 & 0.724 & -0.0341 \\ 3 & 0.8 & 0.822 & -0.0277 \\ 3.5 & 0.9 & 0.914 & -0.0155 \\ 4 &  & 1 & 0 \\ 4.5 & 1.1 & 1.08 & 0.0174 \\ 5 & 1.2 & 1.15 & 0.0359 \\ \end{array} $$

のようになる。
上の表から分かる通り、実は$S=4$だけでなく、$S=\frac{3}{2}$でも$\frac{1}{5}(S+1)=r_{\mathrm{2e}}$が厳密に成り立つため、SPRが$\frac{3}{2}$から$4$付近で広く近似式が使える。

($S=\frac{3}{2}, 4$の2つのSPRについてのみ厳密に成り立つことは$\frac{1}{5}(S+1)=r_{\mathrm{2e}}$を$S$について解けば直ちに確かめられる)

初めからお気づきの方も多いかもしれないが、2eの近似式$\frac{1}{5}(S+1)$は単に$r_{\mathrm{2e}}(S)$を$S$の関数として見て$S=\frac{3}{2}, 4$の間の値を線型で補間しているだけにすぎない。
従って、同様の補間を例えば$S=4, 12$の2点に対して行えば、2eの近似式として、

$$ \begin{align*} \frac{1}{8}(S+4) \end{align*} $$

を得る。
この式はSPRがより大きい$4$から$12$付近で有効な近似式となる。しかし、stackが深くなるほど2e sizeの変化率は小さくなるため近似式を持ち出す必要性も低く、そもそも計算の労力も比較的かかってしまうことを考慮すると、適当なSPRに対する2e sizeを覚えておく方が効率的かもしれない。